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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
h) f(x)=2x4−4x2f(x)=2 x^{4}-4 x^{2}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=8x3−8x f'(x) = 8x^3 - 8x

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

8x3−8x=08x^3 - 8x = 0 

Sacamos factor común 8x8x

8x(x2−1)=0 8x(x^2 - 1) = 0

Con los mismos razonamientos que venimos usando en las clases y en los problemas que vimos hasta ahora, llegás a que los puntos críticos son x=0 x = 0 , x=1 x = 1 , y x=−1 x = -1

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

- (−∞,−1) (-\infty, -1) - (−1,0) (-1, 0) - (0,1) (0, 1) - (1,+∞) (1, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En  (−∞,−1) ⇒f′(x)<0→ (-\infty, -1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (−1,0) ⇒f′(x)>0→ (-1, 0) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

En  (0,1) ⇒f′(x)<0→ (0, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

En  (1,+∞) ⇒f′(x)>0→ (1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente

Recapitulando entonces,

Intervalo de crecimiento:  (−1,0)  ∪ (1,+∞) (-1, 0)  \cup (1, +\infty)

Intervalo de decrecimiento:  (−∞,−1)∪ (0,1) (-\infty, -1) \cup (0, 1)
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